Perkembangan matematika pada kurun pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak ndeso, tetapi dia bukan orang kurang pandai alasannya jabatannya ialah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat ia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun ia melaksanakan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci sehabis terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, sebuah kota yang sedang berkembang di Aljazair.
Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab menunjukkan keajaiban tata cara bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai diketahui sehabis jaman Perang Salib. Kalkulasi yang mustahil dilaksanakan dengan memakai notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh metode ini, ia menetapkan untuk mencar ilmu pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sungguh mengebu-gebu menciptakan beliau melaksanakan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.
Mengarang buku
Tahun 1202 ia menerbitkan buku Liber Abaci dengan memakai – apa yang kini disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi imbas besar alasannya timbul dunia baru dengan angka-angka yang mampu mengambil alih sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan karakter untuk mengkalkulasikan dan kalkulasi.
Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana memilih jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, kepingan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menumbuhkan hasrat pembacanya. Dasar pedagang, gambaran dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disuguhkan. Termasuk di sini yaitu pembukuan bisnis (double entry), penggambaran perihal marjin keuntungan, pergeseran (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menambahkan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dihentikan). Penguasa pada ketika itu, Frederick, yang kesengsem dengan Liber Abaci, dikala mendatangi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan masalah aljabar dan persamaan kuadrat.
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh jago-hebat tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak usang lalu. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku perihal Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum duduk perkara yang bisa mengganggu “akal sehat” matematikawan yakni perihal problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diharapkan kejelian berpikir.
“Berapa pasang kelinci yang mau beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”
- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak gres dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh balasan: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berjalan seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075. Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang lalu diketahui dengan nama deret Fibonacci.
Deret Fibonacci
Orang Nasrani menolak angka nol; tetapi penjualdalam melakukan transaksi memerlukan angka nol. Alasan yang digunakan oleh Fibonacci ialah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif mempunyai arti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat yakni Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tak maumenjadi konsul, yakni seorang pedagang. Anak muda – yang lebih diketahui dengan nama Fibonacci – mencar ilmu matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan cakap dengan cara berguru sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci yakni: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil semakin besar) yaitu ialah penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, yakni hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, yakni hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas bisa menjawab persoalan kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan hewan berkulit lunak (moluska) yang berupa spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.
Kaitan dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal semenjak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, utamanya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…
Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian memberikan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini seperti dengan nisbah emas. Memang ada kekerabatan akrab antara seksi emas dan nisbah emas mirip mampu dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.
Deret 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Pembagi 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Hasil 1 2 1,5 1,66 1,6 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,618
Barangkali kenyataan ini bisa menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.
Ambil teladan dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan
b/a ≈ (a+b)/b
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)
Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.
Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil:
Φ² – Φ – 1 = 0
Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618
Revolusi Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menerangkan proses aritmatik, tergolong cara mencari akar bilangan. Problem-masalah dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi jual beli, metode bagian untuk mengkalkulasikan pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan potongan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 umumkita kenal selaku 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, selaku acuan, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini cuilan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai teladan, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½.
Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menjumlah teladan-acuan alam tidak umum sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau argumentasi wacana teladan alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melaksanakan perkiraan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan metode bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan belahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan untuk kepentingan jual beli. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan metode penggalan. TintaTeras.com